Secara umum rumusan pencarian akar secara iteratif melibatkan setidaknya dua nilai tebakan sebelumnya dan fungsinya atau satu tebakan sebelumnya dan fungsi serta turunannya. Generalisasi ini mencakup metode Newton-Raphson, secant, dan false position.
flowchart Link to heading
Untuk mencari akar suatu fungsi $f(x)$ dapat dirumuskan terdapatnya suatu fungsi $g(f(x), f’(x), x)$ yang akan memberikan nilai tebakan berikutnya $x_n$, yang semakin mendekati nilai akar yang dicari dengan bergerak dari tebakan awal, misalnya $x_1$ (dan $x_2$), dengan menggunakan informasi $f(x)$ dan $f’(s)$. Diagram alir pencarian akar ini diberikan pada Gambar 1.
f(x), f'"/] N1["n = 3"] N2["n = n + 1"] P1["x(n) = x(n-1) +
g(f, f', x(n-1), x(n-2))"] P2["fn = f(x(n))"] C{"|fn| < ε"} O[/"x(n)"/] o1a(("1")) o1b(("1")) o1c(("1")) o2a(("2")) o2b(("2")) o3a(("3")) o3b(("3")) E(["End"])
Gambar 1. Diagram alir pencarian akar suatu persamaan $f(x)$.
Dikarenakan keterbatasan dukungan Mermaid untuk MathJax, lambang-lambang pada Gambar 1 menggunakan simbol terdekat yang diharapkan tidak menimbulkan salah penafsiran, seperti misalnya x(1) untuk $x_1$ dan fn untuk $f_n$.
methods Link to heading
Setidaknya terdapat tiga metode pencarian akar yang dapat disampaikan, yang masing-masing dapat menggunakan diagram alir pada Gambar 1. Ketiga method yang dimaksud diberikan pada Tabel 1 berikut.
| Method | $g$ |
|---|---|
| Newton-Raphson | $\displaystyle -\frac{f(x_{n-1})}{f’(x_{n-1})}$ |
| Secant | $\displaystyle - \frac{(x_{n-1} - x_{n-2}) f(x_{n-1})}{f(x_{n-1}) - f(x_{n-2})}$ |
| False position | $\displaystyle - \frac{x_{n-2} f(x_{n-1}) - x_{n-1} f(x_{n-2})}{f(x_{n-1}) - f(x_{n-2})}$ |
Perhatikan bahwa secara umum
$$\tag{1} g = g(f, f’, x_{n-1}, x_{n-2}), $$
dengan $f$ dan $f’$ dapat fungsi dari $x_{n-1}$ dan $x_{n-2}$.
questions Link to heading
- Dari ketiga metode pada Tabel 1, berapakah jumlah syarat awal yang diperlukan? Metode mana yang paling sedikit memerlukan syarat awal.
- Kembali untuk ketiga metode pada Tabel 1, mana metode yang cukup menggunakan $f(x)$ dan tidak memerlukan $f’(x)$?
- Bila kebutuhan akan jumlah syarat awal disetarakan dengan kebutuhan akan turunan fungsi, mana metode yang memerlukan informasi paling sedikit dan mana metode yang membutuhkan informasi paling banyak? Jelaskan dengan singkat.
- Buatlah program singkat untuk mencari nilai dari suatu fungsi, misalnya $f(x) = (x - 2.5)(x - 4.75)$ dengan terlebih dahulu menentukan syarat awalnya. Bandingkan jumlah langkah yang diperlukan dengan menggunakan masing-masing metode pada Tabel 1. Bahas mana yang lebih cepat mendapatkan hasil dan mana yang lebih mudah implementasinya, serta kebutuhan minimum informasinya.
- Bila hanya menggunakan diagram alir pada Gambar 1 dan metode-metode pada Tabel 1 dengan tanpa tambahan modifikasi, berapakah jumlah akar suatu fugnsi $f(x)$ yang dapat diperoleh? Mengapa?
- Coba cari akar dari fungsi $f(x) = \sin (x - 0.26 \pi) - 0.41$. Sampai berapa langkah diperlukan agar $|f(x_{root})| < 10^{-5}$? Tunjukkan baris-baris hasilnya dengan kolom pertama adalah jumlah langkah dan kolom kedua adalah nilai $f(x_n)$-nya, di mana $n$ adalah jumlah langkah.